Manajemen Sains: SM - ALJABAR LINIER

ALJABAR LINIER

1. TUJUAN

2. FUNGSI & MANFAAT

3. TEKNIK & FORMULASI

4. CONTOH KASUS

5. DUSKUSI

Program Linier

v Model matematika adalah sistim persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.

v Memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tujuan, yang bergantung pada sejumlah variabel input

v Hal terpenting yg harus dilakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut

2 macam fungsi Program Linier

Fungsi Tujuan

• Mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah. (Z, R atau P)

Fungsi Kendala

• Untuk mengatasi sumber daya yang tersedia, dan permintaan atas sumber daya tsb

Beberapa istilah yang terdapat pada Model Program Linier

Suatu model PL akan membuat permasalahan menjadi suatu bentuk pengambilan keputusan mengenai tingkat aktivitas (x1, x2, x3, ……, xn) disebut variabel keputusan.
Solusi feasible (layak) adalah solusi di mana semua kendala yang ada terpenuhi, dan solusi disebut infeasible (tak layak) jika paling sedikit ada satu kendala yang tak terpenuhi.
Daerah feasible (layak) adalah kumpulan semua solusi feasible.

Solusi optimal adalah solusi layak yang memiliki nilai fungsi tujuan terbaik, terbesar jika masalahnya maksimasi dan terkecil jika masalahnya minimasi

Beberapa Asumsi Dasar Program Linier

Proportionality : naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan

Additivity : nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain
Divisibility : keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan.

4. Deterministic (Certainty) : Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (a_i, b_i C_j) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat

Model Program Linier

Fungsi Tujuan :

Max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n

Berdasarkan kendala :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n (≤, =, ≥) b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n (≤, =, ≥) b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n (≤, =, ≥) b_m

x_1,x₂ , ... x_n ≥ 0

x_j = variabel keputusan ke j

b_i= kapasitas kendala ke i

c_j= koefisien fungsi tujuan ke j

a_ij = koefisien kendala

Tujuan Perusahaan

Memaksimalkan laba
Meminimumkan biaya

v Pembatasan-pembatasan :

o Waktu

o Tenaga kerja

o Energi

o Bahan baku

o Uang

Langkah-langkah program linier

Tahap 1

Masalah harus dapat diidentifikasi sbg sesuatu yg dapat diselesaikan oleh program linier

Tahap 2

Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan oleh model matematika

Tahap 3

Model harus dibuat menggunakan model matematika yag telah dibuat

Teknik Program Linier

v Menggambarkan bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah LINIER

v Teknik pemecahan masalah terdiri dari langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan (program)

Formulasi Model

Variabel Keputusan
Fungsi Tujuan
Batasan Model

Formulasi Model

1.Variabel Keputusan

v Simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan

v Contoh :

§ x1 komputer,

§ x2 radio

2.Fungsi Tujuan

v Hubungan matematika linier yg menjelaskan tujuan perusahaan

v Contoh:

§ memaksimalkan laba

§ meminimumkan biaya

3.Batasan Model

• Hubungan linier dari 40 variabel-variabel keputusan

• Contoh : hanya 40 jam tenaga kerja tersedia untuk membuat komputer

• Angka 40 jam diketahui sebagai parameter

Contoh Kasus :

PT.PURWA KENCANA memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain Brukat dan kain Sifon silk. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang Brukat, bahan baku benang Sifon dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sbrukat adalah 60 kg per hari, benang sifon 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja	Kg Bahan Baku & Jam Tenaga Kerja		Maksimum Penyediaan
Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja	Kain brukat	Kain Sifon silk	Maksimum Penyediaan
Benang Brukat	2	3	60 kg
BenangSifonsilk	-	2	30 kg
Tenaga Kerja	2	1	40 kg

Langkah-langkah:

•      1) Tentukan variabel
        X1=kain Brukat
        X2=kain Sifon
2) Fungsi tujuan
        Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
        1. 2X1 + 3X2 [1] 60 (benang brukat)
        2. 2X2 [1] 30 (benang sifon)
        3. 2X1 + X2 [1] 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
        1. 2X1 + 3 X 2=60
            X1=0, X2 =60/3 = 20
          X2=0, X1= 60/2 = 30
        2. 2X2 [1] 30
          X2=15
        3. 2X1 + X2 [1] 40
            X1=0, X2 = 40
            X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:

1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
    X1=0, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
    X1=20, X2=0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
    Mencari titik potong (1) dan (3)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + X2 = 40
    2X2=20 X2=10
    Masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3X2 = 60
    2X1 + 3 . 10 = 60
    2X1 + 30 = 60
    2X1 = 30 X1 = 15
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
    2X2 = 30
    X2 = 15
    masukkan X2 ke kendala (1)
    2X1 + 3 . 15 = 60
    2X1 + 45 = 60
    2X1 = 15 X1 = 7,5
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
    X2 = 15
    X1 = 0
    masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
    Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.

•

• 2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

•      Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + X2 = 40
   2X2=20
   X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
   2X1 + 3X2 = 60
   2X1 + 3 . 10 = 60
   2X1 + 30 = 60
   2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
   40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

2. MASALAH MINIMASI

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh:

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis Minuman yaitu Susu kotak dan Jelly drink. Kedua jenis minuman tersebut mengandung vitamin dan protein. Jelly drink paling sedikit diproduksi 2 unit dan Susu kotak paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis Makanan	Vitamin (unit)	Protein (unit)	Biaya per unit (ribu rupiah)
Susu kotak	2	2	100
Jelly drink	1	3	80
Minimum Kebutuhan	8	12	-

•      Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
    X1 = Royal Bee
    X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
    Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
   1) 2X1 + X2

8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2

12 (protein)
3) X1

2
4) X2

1
4. Membuat grafik
    1) 2X1 + X2 = 8
        X1 = 0, X2 = 8
        X2 = 0, X1 = 4
    2) 2X1 + 3X2 = 12
        X1 = 0, X2 = 4
        X2 = 0, X1 = 6
    3) X1 = 2
    4) X2 = 1

•

• Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

• Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

Manajemen Sains

Jumat, 19 Desember 2014

SM - ALJABAR LINIER

1 komentar: