ALJABAR LINIER
1. TUJUAN
2. FUNGSI & MANFAAT
3. TEKNIK & FORMULASI
4. CONTOH KASUS
5. DUSKUSI
Program Linier
v Model matematika adalah sistim persamaan
atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x
dan y.
v Memaksimumkan
dan meminimumkan fungsi tujuan, yang bergantung pada sejumlah variabel input
v Hal
terpenting yg harus dilakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut
2 macam fungsi
Program Linier
- Fungsi Tujuan
• Mengarahkan
analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah. (Z, R atau P)
- Fungsi Kendala
• Untuk
mengatasi sumber daya yang tersedia, dan permintaan atas sumber daya tsb
Beberapa istilah yang
terdapat pada Model Program Linier
- Suatu model PL akan membuat permasalahan menjadi suatu bentuk pengambilan keputusan mengenai tingkat aktivitas (x1, x2, x3, ……, xn) disebut variabel keputusan.
- Solusi feasible (layak) adalah solusi di mana semua kendala yang ada terpenuhi, dan solusi disebut infeasible (tak layak) jika paling sedikit ada satu kendala yang tak terpenuhi.
- Daerah feasible (layak) adalah kumpulan semua solusi feasible.
Solusi optimal adalah solusi layak yang memiliki nilai
fungsi tujuan terbaik, terbesar jika masalahnya maksimasi dan terkecil jika
masalahnya minimasi
Beberapa Asumsi Dasar Program Linier
- Proportionality : naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan
- Additivity : nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain
- Divisibility : keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan.
4. Deterministic
(Certainty) : Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat
dalam model LP (ai, bi
Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat
Model Program Linier
Fungsi Tujuan :
Max/min z = c1x1 + c2x2
+ ... + cnxn
Berdasarkan kendala :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn (≤, =, ≥) b1
a21x1
+ a22x2 + ... + a2nxn (≤, =, ≥) b2
:
am1x1
+ am2x2 + ... + amnxn (≤, =, ≥) bm
x1,
x2 , ... xn
≥ 0
xj
= variabel keputusan ke j
bi
= kapasitas kendala ke i
cj
= koefisien fungsi tujuan ke j
aij
= koefisien kendala
Tujuan Perusahaan
- Memaksimalkan laba
- Meminimumkan biaya
v Pembatasan-pembatasan
:
o Waktu
o Tenaga
kerja
o Energi
o Bahan
baku
o Uang
Langkah-langkah program linier
- Tahap 1
- Masalah harus dapat diidentifikasi sbg sesuatu yg dapat diselesaikan oleh program linier
- Tahap 2
- Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan oleh model matematika
- Tahap 3
- Model harus dibuat menggunakan model matematika yag telah dibuat
Teknik Program Linier
v Menggambarkan
bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah LINIER
v Teknik
pemecahan masalah terdiri dari langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan
(program)
Formulasi Model
- Variabel Keputusan
- Fungsi Tujuan
- Batasan Model
Formulasi Model
1.Variabel Keputusan
v Simbol
matematika yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan
v Contoh
:
§ x1
komputer,
§ x2
radio
2.Fungsi Tujuan
v Hubungan
matematika linier yg menjelaskan tujuan
perusahaan
v Contoh:
§ memaksimalkan
laba
§ meminimumkan
biaya
3.Batasan Model
• Hubungan
linier dari 40 variabel-variabel keputusan
• Contoh
: hanya 40 jam tenaga kerja tersedia untuk membuat komputer
• Angka
40 jam diketahui sebagai parameter
Contoh
Kasus :
PT.PURWA KENCANA memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2
jenis produk, yaitu kain Brukat dan kain Sifon silk. Untuk memproduksi kedua
produk diperlukan bahan baku benang Brukat, bahan baku benang Sifon dan tenaga
kerja. Maksimum penyediaan benang sbrukat adalah 60 kg per hari, benang sifon 30
kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan
bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis Bahan Baku dan Tenaga Kerja
|
Kg Bahan Baku & Jam Tenaga
Kerja
|
Maksimum Penyediaan
|
|
Kain brukat
|
Kain Sifon silk
|
||
Benang Brukat
|
2
|
3
|
60 kg
|
BenangSifonsilk
|
-
|
2
|
30 kg
|
Tenaga Kerja
|
2
|
1
|
40 kg
|
Langkah-langkah:
•
1) Tentukan variabel
X1=kain Brukat
X2=kain Sifon
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 [1] 60 (benang brukat)
2. 2X2 [1] 30 (benang sifon)
3. 2X1 + X2 [1] 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 [1] 30
X2=15
3. 2X1 + X2 [1] 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
X1=kain Brukat
X2=kain Sifon
2) Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
1. 2X1 + 3X2 [1] 60 (benang brukat)
2. 2X2 [1] 30 (benang sifon)
3. 2X1 + X2 [1] 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
1. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
2. 2X2 [1] 30
X2=15
3. 2X1 + X2 [1] 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara
mendapatkan solusi optimal:
1.
Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
•
•
2. Dengan cara menggeser garis
fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).
•
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900
2.
MASALAH MINIMASI
Minimisasi
dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat
garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.
Contoh:
Perusahaan
makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis Minuman yaitu Susu kotak dan Jelly drink. Kedua jenis
minuman tersebut mengandung vitamin dan protein. Jelly drink paling sedikit diproduksi
2 unit dan Susu kotak paling sedikit
diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam
setiap jenis makanan:
Jenis Makanan
|
Vitamin (unit)
|
Protein (unit)
|
Biaya per unit (ribu rupiah)
|
Susu kotak
|
2
|
2
|
100
|
Jelly drink
|
1
|
3
|
80
|
Minimum Kebutuhan
|
8
|
12
|
-
|
•
Bagaimana menentukan kombinasi kedua
jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
1) 2X1 + X2
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
1) 2X1 + X2
8 (vitamin)
2) 2X1 + 3X2
12 (protein)
3) X1
2
4) X2
1
4. Membuat grafik
1) 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
2) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
3) X1 = 2
4) X2 = 1
•
•
Solusi optimal tercapai pada titik B
(terdekat dengan titik origin), yaitu
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
persilangan garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 X2 = 2
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
•
Kesimpulan
:
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.